1藤田医科大学 2023年 数学 第1問解答・解説

(1) アイ・ウ・エ

$U$ は整数全体であり、集合に含まれる $a+6$ は整数なので、$a$ は整数である。$A,\ B$ の要素の一致をすべて調べる。$1,\ 4$ と $B$ の可変要素との一致は整数解がない。$A$ の $a^{3}+33$ と $B$ の $a^{2}+a$ との一致は、$(a+3)(a^{2}-4a+11)=0$ より $a=-3$ である。$A$ の $a+6$ と $B$ の $2,\ 7,\ a^{3}+30$ との一致は、順に $a=-4,\ 1,\ -3$ である。$A$ の $a+6$ と $a^{2}+a$ との一致は整数解がない。その他の一致はない。$a=-4,\ 1$ では共通要素はそれぞれ 2 と 7 の 1 個だけである。$a=-3$ なら $A=\{1,3,4,6\},\ B=\{2,3,6,7\}$ で、共通要素は 3, 6 の 2 個である。ド・モルガンの法則より $\overline{A\cup\overline{B}}=\overline{A}\cap B$ なので、その個数は 2 である。最後の集合は $A\cup B$ に等しく、個数は 6 である。

(2) オ・カ・キ・クケ

$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\vec{u},\ \overrightarrow{\mathrm{AC}}=\vec{v}$ とおく。内分の条件から
$$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\dfrac{3}{5}\vec{u},\qquad \overrightarrow{\mathrm{AQ}}=\dfrac{2}{3}\vec{u}+\dfrac{1}{3}\vec{v}.$$
点 $\mathrm{R}$ は直線 $\mathrm{AQ}$ 上にあるので $\overrightarrow{\mathrm{AR}}=r\,\overrightarrow{\mathrm{AQ}}$、直線 $\mathrm{CP}$ 上にあるので $\overrightarrow{\mathrm{AR}}=h\,\overrightarrow{\mathrm{AP}}+(1-h)\vec{v}$ と書ける。$\vec{u},\ \vec{v}$ は平行でないので、係数を比べて
$$\dfrac{2r}{3}=\dfrac{3h}{5},\qquad \dfrac{r}{3}=1-h.$$
これを解いて $r=\dfrac{9}{13},\ h=\dfrac{10}{13}$ である。
$\triangle\mathrm{RAC}$ と $\triangle\mathrm{QAC}$ は、頂点 $\mathrm{C}$ から直線 $\mathrm{AQ}$ までの高さが共通なので、面積の比は $\mathrm{AR}:\mathrm{AQ}=9:13$ である。また $\triangle\mathrm{QAC}$ と $\triangle\mathrm{ABC}$ は、頂点 $\mathrm{A}$ から直線 BC までの高さが共通なので、面積の比は $\mathrm{QC}:\mathrm{BC}=2:3$ である。したがって
$$\dfrac{\triangle\mathrm{RAC}}{\triangle\mathrm{ABC}}=\dfrac{9}{13}\cdot\dfrac{2}{3}=\dfrac{6}{13}.$$
同様に、直線 AB への高さを用いると $\dfrac{\triangle\mathrm{RAB}}{\triangle\mathrm{ABC}}=\dfrac{9}{13}\cdot\dfrac{1}{3}=\dfrac{3}{13}$ である。点 $\mathrm{R}$ は三角形の内部にあるので、残りは
$$\dfrac{\triangle\mathrm{RBC}}{\triangle\mathrm{ABC}}=1-\dfrac{6}{13}-\dfrac{3}{13}=\dfrac{4}{13}.$$
したがって $\dfrac{\triangle\mathrm{RBC}}{\triangle\mathrm{RAC}}=\dfrac{2}{3}$ である。

(3) コ・サ・シ

$c=\cos a$ とおく。平均は $\dfrac{3c+2c}{5}=c$ である。$2\sin 2a,\ -2\sin 2a$ の平方和は $8\sin^{2}2a$ なので、分散は
$$\dfrac{13c^{2}+8\sin^{2}2a}{5}-c^{2}=\dfrac{8}{5}\left(c^{2}+\sin^{2}2a\right).$$
$t=c^{2}$ とおくと $0\leqq t\leqq 1$ であり、$\sin^{2}2a=4\sin^{2}a\cos^{2}a=4t(1-t)$ なので、分散は $\dfrac{8}{5}(5t-4t^{2})$ である。これは上に凸の 2 次式であり、最大値は $t=\dfrac{5}{8}$ のとき $\dfrac{5}{2}$、最小値は端点を比べて $t=0$ のとき 0 である。

(4) ス・セソ・タ

$z^{7}=1$ かつ $z\ne 1$ なので、
$$1+z+z^{2}+\cdots+z^{6}=\dfrac{z^{7}-1}{z-1}=0.$$
よって $z+z^{2}+\cdots+z^{6}=-1$ である。
また $\dfrac{X^{7}-1}{X-1}=(X-z)(X-z^{2})(X-z^{3})(X-z^{4})(X-z^{5})(X-z^{6})$ が成り立つ。両辺に $X=1$ を代入し、左辺は $X^{6}+X^{5}+\cdots+X+1$ なので $X=1$ のとき 7 となる。したがって $(1-z)(1-z^{2})(1-z^{3})(1-z^{4})(1-z^{5})(1-z^{6})=7$ である。

(5) チツ

与式の両辺を 2 乗すると $x+\dfrac{1}{x}+2=5$、すなわち $x+\dfrac{1}{x}=3$ である。よって $\left(x-\dfrac{1}{x}\right)^{2}=9-4=5$ である。したがって
$$\left(x^{2}-\dfrac{1}{x^{2}}\right)^{2}=\left(x-\dfrac{1}{x}\right)^{2}\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^{2}=5\cdot 9=45.$$

(6) テ

$$\dfrac{(e^{x}-1)\log(4x+1)}{x^{2}}=\dfrac{e^{x}-1}{x}\cdot\dfrac{\log(1+4x)}{4x}\cdot 4$$
と分解する。$x\to 0$ のとき、各分数の極限はいずれも 1 なので、$\displaystyle\lim_{x\to 0}\dfrac{(e^{x}-1)\log(4x+1)}{x^{2}}=4$ である。

(7) ト・ナ・ニ・ヌ

$f'(x)=4g(x)$、$g(x)=2x^{3}-3(1+a)x^{2}+6ax+4a$ とおく。$g'(x)=6(x-a)(x-1)$ である。$f(x)$ が極大値をもつのは、$g(x)$ の符号が正から負へ変わるときであり、すなわち $g(x)$ の極大値が正、極小値が負となる場合である。$g(1)=7a-1,\ g(a)=a(4-a)(a+1)$ である。
$0<a<1$ では $x=a$ で極大、$x=1$ で極小となるので、$0<a<\dfrac{1}{7}$ である。$a=1$ では $g'(x)=6(x-1)^{2}\geqq 0$ で単調増加なので不適である。$a>1$ では $x=1$ で極大、$x=a$ で極小となるので、$a>4$ である。境界 $a=\dfrac{1}{7},\ 4$ では $g(x)$ が重解をもち符号が変わらないので除外する。

(8) ネノハ

使える文字は $m,\ e,\ d,\ i,\ c,\ n$ の 6 種類で、$e,\ i$ が各 2 個、ほかは各 1 個である。4 文字がすべて異なる場合は ${}_{6}\mathrm{C}_{4}\cdot 4!=360$ 通りである。ちょうど 1 種類を 2 個使う場合は、2 個使う文字が $e,\ i$ のどちらかで 2 通り、残りの 2 文字は残りの 5 種類から ${}_{5}\mathrm{C}_{2}=10$ 通り、並べ方は $\dfrac{4!}{2!}=12$ 通りなので、計 $2\cdot 10\cdot 12=240$ 通りである。2 種類をそれぞれ 2 個ずつ使う場合は $e,\ i$ の 2 文字で、並べ方は $\dfrac{4!}{2!\,2!}=6$ 通りである。以上より、合計 $360+240+6=606$ 通りである。

(9) ヒ

$2^{n}$ の一の位は 2, 4, 8, 6 を周期4で繰り返す。$2023=4\cdot505+3$ より $2^{2023}$ の一の位は 8、$2^{2023}-1$ の一の位は 7。よって積の一の位は $8\times7=56$ の一の位で、6 である。

(10) フヘ

$A=(16^{16})^{16}=16^{256}=2^{1024}$ なので $\log_{2}(\log_{2}A)=\log_{2}1024=10$。一方、$B=2^{4^{8}}=2^{65536}$ なので $\log_{2}(\log_{2}B)=16$。差は $-6$ である。

(11) ホ・マミ

$x=\tan t$ と置換すると、$t$ は $\dfrac{\pi}{6}$ から $\dfrac{\pi}{3}$ まで動き、$dx=\dfrac{1}{\cos^{2}t}\,dt$ なので、被積分関数は $\sin^{2}t\,dt$ となる。
$$\displaystyle\int_{\dfrac{\pi}{6}}^{\dfrac{\pi}{3}}\sin^{2}t\,dt=\left[\dfrac{t}{2}-\dfrac{\sin 2t}{4}\right]_{\dfrac{\pi}{6}}^{\dfrac{\pi}{3}}=\dfrac{\pi}{12}.$$
$\sin 2t$ の項は両端で値が等しい。