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藤田医科大学／2023年度／後期

3藤田医科大学 2023年 数学 第3問解答・解説

1問題

藤田医科大学2023年度第3問
O\mathrm{O}を原点とするxyxy平面上の曲線y=23(1−x32) (x≧0)y=\dfrac{2}{3}\left(1-x^{\dfrac{3}{2}}\right)\ (x\geqq 0)上に点A(1, 0)\mathrm{A}(1,\,0)、B(0, 23)\mathrm{B}\left(0,\,\dfrac{2}{3}\right)をとり、伸び縮みしない糸を曲線AB\mathrm{AB}、線分BO\mathrm{BO}上に緩まないように沿わせる。この糸は、一端を点A\mathrm{A}に固定して、曲線AB\mathrm{AB}に沿わせて点B\mathrm{B}で折り、yy軸の下方向にまっすぐに沿わせると、ちょうど点O\mathrm{O}に達する長さである。点A\mathrm{A}に固定した糸の端とは反対側の端を点P\mathrm{P}とする。

はじめ点O\mathrm{O}に点P\mathrm{P}があり、糸が緩まないように点P\mathrm{P}を時計回りに動かしていくと、途中まで点P\mathrm{P}は点B\mathrm{B}を中心とし線分OB\mathrm{OB}の長さを半径とする円の周上にある。その後、糸は曲線AB\mathrm{AB}から徐々に離れはじめる。糸のうち曲線AB\mathrm{AB}上の部分の点P\mathrm{P}に近い側の点を点Q\mathrm{Q}とする。点P\mathrm{P}は点O\mathrm{O}から動き始めてから後、点Q\mathrm{Q}が点A\mathrm{A}に達するまで動く。次の問いに答えよ。

(1) 糸の長さを求めよ。

(2) 点Q\mathrm{Q}のxx座標をttとする。0<t<10<t<1のとき、点P\mathrm{P}が曲線AB\mathrm{AB}の点Q\mathrm{Q}における接線上にあることに注意して、点P\mathrm{P}の座標をttを用いて表せ。

(3) 点O\mathrm{O}を起点とする点P\mathrm{P}の軌跡を図示せよ。

(4) 糸が通過した部分の面積を求めよ。
xy平面の第1象限に、点B(y軸上)から点A(x軸上)までの曲線と、曲線上の点Q、曲線と両軸で囲まれた点の打たれた部分がある。点Qにおける接線の延長上に点Pがあり、破線で結ばれている。

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • (1)
    423\frac{4\sqrt2}{3}。
  • (2)
    P(t−23,23(1+t))P\left(\frac{t-2}{3},\frac23(1+\sqrt t)\right)。
  • (3)
    OO から D(−23,23)D(-\frac23,\frac23) までは、左下の四分円弧x2+(y−23)2=49(x≦0, 0≦y≦23).x^2+(y-\tfrac23)^2=\frac49\quad(x\leqq0,\ 0\leqq y\leqq\tfrac23).続いて DD から E(−13,43)E(-\frac13,\frac43) までは放物線弧x=34(y−23)2−23(23≦y≦43).x=\frac34(y-\tfrac23)^2-\frac23\quad(\tfrac23\leqq y\leqq\tfrac43).
  • (4)
    糸が通過した面積は π9+56135\frac\pi9+\frac{56}{135}。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

解答

(1)

曲線の導関数は y′=−xy\prime=-\sqrt x。弧 ABAB の長さは ∫011+x dx=23(22−1)\int_0^1\sqrt{1+x}\,dx=\frac23(2\sqrt2-1)。BO=23BO=\frac23 を加えると、糸の全長は 423\frac{4\sqrt2}{3}。

(2)

Q=(t,23(1−t32))Q=(t,\frac23(1-t^{\frac32}))。糸の自由な部分 QPQP の長さはBO+弧 BQ=23+∫0t1+x dx=23(1+t)32.BO+\text{弧}\,BQ=\frac23+\int_0^t\sqrt{1+x}\,dx=\frac23(1+t)^{\frac32}.QQ から PP への方向は接線方向 (−1,t)1+t\frac{(-1,\sqrt t)}{\sqrt{1+t}} なので、QP→=23(1+t)(−1,t)\overrightarrow{QP}=\frac23(1+t)(-1,\sqrt t)。QQ に足すと、PP の xx 座標は t−23(1+t)=t−23t-\frac23(1+t)=\frac{t-2}{3}、yy 座標は 23(1−t32)+23t(1+t)=23(1+t)\frac23(1-t^{\frac32})+\frac23\sqrt t(1+t)=\frac23(1+\sqrt t)。

(3)

BB を中心とする初期運動は、時計回りに OO から左端 DD まで、角 π2\frac\pi2 の円弧を描く。その後は(2)で tt が0から1まで増加する。t=(3y2−1)2=94(y−23)2t=(\frac{3y}{2}-1)^2=\frac94(y-\frac23)^2 を x=t−23x=\frac{t-2}{3} に代入すると、指定の放物線弧となる。最終的に Q=AQ=A となるとき P=EP=E。両弧は DD でつながり、両端を含む。

(4)

最初の回転では半径 23\frac23、角 π2\frac\pi2 の扇形を通過するので、面積は π9\frac\pi9。その後に糸が通過する領域は BDBD、弧 DEDE、最終の糸 EAEA、元の弧 ABAB で囲まれる部分である。最終の接線 EAEA は y=1−xy=1-x。xx の範囲を3区間に分けるとJ=∫−23−13233x+2 dx+∫−130(13−x) dx+∫01{1−x−23(1−x32)}dx.\begin{aligned}J={}&\int_{-\frac23}^{-\frac13}\frac23\sqrt{3x+2}\,dx\\&+\int_{-\frac13}^0(\tfrac13-x)\,dx\\&+\int_0^1\left\{1-x-\frac23(1-x^{\frac32})\right\}dx.\end{aligned}それぞれ 427,16,110\frac4{27},\frac16,\frac1{10} なので、合計は 56135\frac{56}{135}。扇形とは内部が重ならないので、加えて π9+56135\frac\pi9+\frac{56}{135}。

保存した解説図（配置未確定）

保存された解説図（掲載前の内容照合は別途必要）

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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