3藤田医科大学 2022年 数学 第3問解答・解説

座標平面上で、$0\leqq\theta<\pi$、$0\leqq r<1$を満たす$\theta$、$r$に対して点$P_{n}\ (n=0,\,1,\,2,\,\cdots)$を図のように定める。原点$\mathrm{O}(0,\,0)$を点$P_{0}$とし、$x$軸上の点$(1,\,0)$を点$P_{1}$とする。
$P_{0}P_{1}$方向から反時計回りに$\theta$だけ向きを変えて$P_{1}$から距離$r$だけ進んだ点を点$P_{2}$とする。
$P_{1}P_{2}$方向から反時計回りに$\theta$だけ向きを変えて$P_{2}$から距離$r^{2}$だけ進んだ点を点$P_{3}$とする。
$P_{2}P_{3}$方向から反時計回りに$\theta$だけ向きを変えて$P_{3}$から距離$r^{3}$だけ進んだ点を点$P_{4}$とする。
このように、順に点$P_{n+2}\ (n=0,\,1,\,2,\,\cdots)$を$P_{n}P_{n+1}$方向から反時計回りに$\theta$だけ向きを変えて$P_{n+1}$から距離$r^{n+1}$だけ進んだ点とする。この操作を無限に繰り返したときに近づく点を点$P_{\infty}$とする。次の問いに答えよ。

(1) $\theta=\dfrac{\pi}{2}$、$r=\dfrac{1}{2}$のとき、点$P_{\infty}$の座標を求めよ。

(2) $\theta=\dfrac{2\pi}{3}$、$r=\dfrac{1}{2}$のとき、点$P_{\infty}$の座標を求めよ。

(3) $\theta=\dfrac{\pi}{2}$とし、$r$を$0\leqq r<1$の範囲で変えるとき、点$P_{\infty}$の軌跡を求め、図示せよ。

(4) $r=\dfrac{1}{2}$とし、$\theta$を$0\leqq\theta<\pi$の範囲で変えるとき、点$P_{\infty}$の軌跡を求め、図示せよ。