1藤田医科大学 2022年 数学 第1問解答・解説

(1)

$2022=2\cdot3\cdot337$である。1000から2022で2、3の倍数を除く数は、6で割った余りが$1,5$の数であり、余り1が170個、余り5が171個の計341個である。
この範囲の337の倍数は$1011,1348,1685,2022$であり、このうち2、3と互いに素なのは$1685$だけである。
したがって、$341-1=340$個である。

(2)

$f^{\prime}=\frac12-\frac4{x^3}$であり、$x=2$を境に負から正となる。
よって、最小値は$f(2)=1+\frac12=\frac32$である。

(3)

奇数$1,3,\ldots,2n-1$の平均は$n$である。分散は$1,\ldots,n$の分散の4倍であり、$\frac{n^2-1}3$となる。
標準偏差が$15$なので、$\frac{n^2-1}3=225$、$n^2=676$である。$n>2$より、$n=26$である。

(4)

$\cos x$の係数$1+\cos a+\cos b$と$\sin x$の係数$-\sin a-\sin b$がともに$0$でなければ一定にならない。
つまり、$1+(\cos a+i\sin a)+(\cos b+i\sin b)=0$である。単位ベクトル3本の和が$0$なので、3点は単位円を3等分する。
$0<a<b<2\pi$から、$a=\frac{2\pi}3,b=\frac{4\pi}3$である。

(5)

直線を$y=mx+b\quad(m=-\frac ba<0)$とする。各放物線への接線条件から、$b=10-\frac{(m+6)^2}8=35-\frac{(m+20)^2}{12}$である。
整理すると$m^2-44m-92=0$、$m=46,-2$である。負の傾きは$-2$のみなので、$b=8,a=-\frac bm=4$となる。

(6)

4象限で対称である。第1象限では$y=(\sqrt2-\sqrt x)^2\quad(0\leqq x\leqq2)$である。
面積は$4\int_0^2(2-2\sqrt{2x}+x)\,dx=4(4-\frac{16}3+2)=\frac83$となる。

(7)

角の二等分線の定理より$\frac{QB}{AQ}=\frac{PB}{PA}$である。2乗すると、$R(p)=\frac{2p^2-p+2}{2p^2+3p+2}$となり、分母は常に正である。
$R^{\prime}(p)=\frac{8(p^2-1)}{(2p^2+3p+2)^2}$なので、$p=-1$で最大、$p=1$で最小となる。両無限遠での極限$1$も比較している。
$R(-1)=5,R(1)=\frac37$である。

(8)

全取り出し方は${}_{20}\mathrm C_4=4845$通りである。
赤4個の確率は$\frac{{}_{17}\mathrm C_4}{{}_{20}\mathrm C_4}=\frac{2380}{4845}=\frac{28}{57}$である。
赤3個、白1個の確率は$\frac{{}_{17}\mathrm C_3\,{}_{3}\mathrm C_1}{{}_{20}\mathrm C_4}=\frac{2040}{4845}=\frac8{19}$である。

(9)

領域は頂点$(-3,-2),(-1,4),(1,0)$の閉三角形である。式は$y$に関して増加するので、最大は上側境界で調べる。
$-3\leqq x\leqq-1$では$y=3x+7$から$x^2+24x+56$が増加し、$-1\leqq x\leqq1$では$y=2-2x$から$x^2-16x+16$が減少する。したがって、最大は$(-1,4)$で$33$である。
最小は下辺$y=\frac{x-1}2$上で$(x+2)^2-8$となり、$x=-2,y=-\frac32$で$-8$である。

(10)

円の中心を$(h,k)$とする。$A,B$への距離の一致から$h+k=-7$、$A,C$への距離の一致から$h-3k=13$である。
解くと$h=-2,k=-5$であり、半径は$5$である。
$D=(a,-2)$を代入すると$(a+2)^2+3^2=25$なので、$a=2,-6$である。$a>0$より$2$である。