2藤田医科大学 2022年 数学 第2問解答・解説

(1)

展開図の6正三角形を辺の対応を保って折り合わせると、共通底面$ABD$をもつ2個の正四面体$ABCD,ABDF$を貼り合わせた三角両錐となる。
6外面は$ABC,BCD,CDA,ABF,BDF,DAF$であり、展開図を順にたどると、$E=A,G=B,H=D$の対応となる。

(2)

$H=D$であり、$ABCD$は1辺$2$の正四面体である。$ABC$の重心から各頂点への距離は$\frac2{\sqrt3}$である。
よって、$H$から平面$ABC$への高さは$\sqrt{2^2-(\frac2{\sqrt3})^2}=\sqrt{\frac83}=\frac{2\sqrt6}3$である。

(3)

共通底面を$A=(0,0,0),B=(2,0,0),D=(1,\sqrt3,0)$とし、$C=(1,\frac{\sqrt3}3,h),F=(1,\frac{\sqrt3}3,-h),h=\frac{2\sqrt6}3$とおく。
対称性から、接球の中心は共通底面の重心$M=(1,\frac{\sqrt3}3,0)$である。
外面$ABC$は$2\sqrt2y-z=0$なので、$M$からの距離は$\frac{2\sqrt2\cdot\frac{\sqrt3}3}3=\frac{2\sqrt6}9$である。他の5面への距離も対称性から等しく、$M$は内部なので、これが半径である。

(4)

(3)の座標では、平面$P=ABC$は$2\sqrt2y-z=0$である。
$F=(1,\frac{\sqrt3}3,-h)$からの距離は、$\frac{|2\sqrt2\cdot\frac{\sqrt3}3+h|}3=\frac{2h}3=\frac{4\sqrt6}9$である。

(5)

$AB$を含み$P$に垂直な切断平面は$y+2\sqrt2z=0$である。この左辺は$D$で$\sqrt3$、$F$で$-\frac{7\sqrt3}3$となる。
したがって、$DF$との交点$T$は$DT:TF=3:7$を満たす。切断は正四面体$ABDF$を、共通底面$ABT$で体積$3:7$に分ける。
$ABCD$はすべて$D$側にあり、$ABDF$と等体積である。$ABDF$の体積を$10$とおくと、$D$側は$10+3=13$、$F$側は$7$なので、比は$13:7$である。