4旭川医科大学 2024年 数学 第4問解答・解説

(1)

その時点までの和の剰余にかかわらず、次の1,2,3のどれか1枚だけが和を3の倍数にする。従って各回で初到達する条件付き確率は $\frac13$。1回目成功が $\dfrac13$、1回失敗後成功が $\dfrac23\cdot\dfrac13$、2回失敗後成功が $(\frac23)^2\cdot\frac13$。

(2)

最初の $n-1$ 回で3の倍数に至らない確率は、逐次の条件付き失敗確率を掛けて $(\frac23)^{n-1}$。その後 $n$ 回目で初到達する条件付き確率 $\frac13$ を掛ける。各回の和自体の独立性を仮定するのではなく、各履歴で同じ成功確率を持つことを用いた。

(3)

$q=\frac23,F_N=15-(N^2+6N+15)q^N$ とおくと $F_0=0$。また
$$\begin{aligned}F_N-F_{N-1}&=q^{N-1}\left\{N^2+4N+10-\frac23(N^2+6N+15)\right\}\\&=\frac{N^2}3q^{N-1}=N^2p_N.\end{aligned}$$$$F_N-F_{N-1}=q^{N-1}\left\{N^2+4N+10-\frac{2}{3}(N^2+6N+15)\right\}$$$$=\frac{N^2}{3}{q}^{N-1}=N^2{p}_N.$$
従って差を足し合わせれば指定の有限和が $F_N$ に等しい。

(4)

前問で $N\to\infty$ とする。与えられた $N^2q^N\to0$（$|q|<1$）から $(N^2+6N+15)q^N\to0$。従って無限級数の和は15。