3旭川医科大学 2024年 数学 第3問解答・解説

(1)

$AB$ の長さは $2\sqrt2$、直線 $AB$ は $x+y=0$。$P$ からの距離は $\frac{p+\frac1p}{\sqrt2}$ なので面積は $p+\frac1p$。$p>0$ より相加相乗平均から $S\geqq2$、等号は $p=1$。連続性と $p\to\infty$ で無限大になることから2以上の全値をとる。

(2)

$AP^2=S^2+2(p-\frac1p),BP^2=S^2-2(p-\frac1p)$ だから $AP^2BP^2=S^4-4(p-\frac1p)^2=S^4-4S^2+16$。三角形の外接円半径の公式 $r=\frac{AB\cdot AP\cdot BP}{4S}$ と $AB=2\sqrt2$ を用いる。

問3(1)

$T=\pi r^2$ なので $f(p)=\pi(\frac12-\frac2{S^2}+\frac8{S^4})$。$p\to\infty$ では $S=p+\frac1p\to\infty$ だから極限は $\frac\pi2$。

問3(2)

$u=\frac1{S^2}$ とおくと $0<u\leqq\frac14$、$f=\pi(8u^2-2u+\frac12)=8\pi(u-\frac18)^2+\frac{3\pi}8$。
最小は $u=\frac18$、つまり $S=2\sqrt2$ で、$p^2-2\sqrt2p+1=0$ から $p=\sqrt2\pm1$。
最大について $f-\frac\pi2=2\pi u(4u-1)\leqq0$、等号は $u=\frac14$ のみで $p=1$。$u=0$ は定義域外なので極限値との区別も保つ。