2筑波大学 2022年 数学 第2問解答・解説

整数$\,{a}_{1}\,\text{、}$ ${a}_{2}\,\text{、}$ ${a}_{3}\,\text{、}\cdots \,$を、さいころをくり返し投げることにより、以下のように定めていく。まず、${a}_{1}=1\,$とする。そして、正の整数$\,n\,$に対し、${a}_{n+1}\,$の値を、$n\,$回目に出たさいころの目に応じて、次の規則で定める。

（規則）$n\,$回目に出た目が$\,1\,\text{、}$ $2\,\text{、}$ $3\,\text{、}$ $4\,$なら$\,{a}_{n+1}={a}_{n}\,$とし、$5\,\text{、}$ $6\,$なら$\,{a}_{n+1}=-{a}_{n}\,$とする。

たとえば、さいころを$\,3\,$回投げ、その出た目が順に$\,5\,\text{、}$ $3\,\text{、}$ $6\,$であったとすると、${a}_{1}=1\,\text{、}$ ${a}_{2}=-1\,\text{、}$ ${a}_{3}=-1\,\text{、}$ ${a}_{4}=1\,$となる。

　${a}_{n}=1\,$となる確率を$\,{p}_{n}\,$とする。ただし、${p}_{1}=1\,$とし、さいころのどの目も、出る確率は$\,\dfrac{1}{6}\,$であるとする。

(1)　${p}_{2}\,\text{、}$ ${p}_{3}\,$を求めよ。

(2)　${p}_{n+1}\,$を$\,{p}_{n}\,$を用いて表せ。

(3)　${p}_{n}\leqq 0.5000005\,$を満たす最小の正の整数$\,n\,$を求めよ。

　ただし、$0.47<{\log }_{10}3<0.48\,$であることを用いてよい。