4昭和医科大学 2023年 数学 第4問解答・解説

(1-1) Aへの到達

9回中 $x$ 方向が5回、$y$ 方向が4回なので確率は $\frac{{}_{9}\mathrm C_5}{2^9}=\frac{126}{512}=\frac{63}{256}$。

(1-2) B経由でA

$B$ には4回後に到達する。$O$ から $B$ は4回中2回 $x$、$B$ から $A$ は5回中3回 $x$ なので、確率は $\frac{{}_{4}\mathrm C_2\cdot{}_{5}\mathrm C_3}{2^9}=\frac{60}{512}=\frac{15}{128}$。

(1-3) B,C経由でA

$O$ から $B$ は4歩で $(2,2)$、$B$ から $C$ は3歩で $(2,1)$、$C$ から $A$ は2歩で $(1,1)$。従って $\frac{{}_{4}\mathrm C_2\cdot{}_{3}\mathrm C_2\cdot{}_{2}\mathrm C_1}{2^9}=\frac{36}{512}=\frac9{128}$。

(2-1) 強制移動規則でA

常に $0\leqq x\leqq5$、$0\leqq y\leqq4$ に保たれ、毎回 $x+y$ が $1$ 増える。9回後は $x+y=9$ なので、許された範囲では $(5,4)$ しかない。従って確率 $1$。

(2-2) 強制移動規則でB経由A

$A$ への到達は確実なので $B$ を通る確率だけを求めればよい。$B=(2,2)$ へは4回後にしか到達できず、その経路中では境界 $x=5,y=4$ に触れない。
従って4回中表2回の確率 $\frac{{}_{4}\mathrm C_2}{2^4}=\frac6{16}=\frac38$。

(2-3) 強制移動規則でD経由A

$D=(2,4)$ を通るのは6回後であり、これは6回までに $y=4$ へ達した場合と同値。$y=4$ へ達した後は $x$ 方向へ強制移動するので、6回後は必ず $(2,4)$ となる。
6回以内に $x=5$ へ先に達した経路は $y\leqq1$ であり、この事象に寄与しない。従って通常のコイン列で最初の6回中裏が4回以上出る確率を数えればよい。
確率は $\frac{{}_{6}\mathrm C_4+{}_{6}\mathrm C_5+{}_{6}\mathrm C_6}{2^6}=\frac{15+6+1}{64}=\frac{11}{32}$。以後は確実に $A$ へ達する。