1昭和医科大学 2023年 数学 第1問解答・解説

(1-1) 推測される一般項

隣接差は $1,4,9,16,25,\ldots$ なので $a_{n+1}-a_n=n^2$ と推測する。従って $a_n=1+\sum_{k=1}^{n-1}k^2=1+\frac{n(n-1)(2n-1)}6$。$n=1$ でも $1$ で、示された全項と一致する。

(1-2) 推測される一般項

隣接差は $1,8,27,64,125,\ldots$ なので $a_{n+1}-a_n=n^3$ と推測する。従って $a_n=1+\sum_{k=1}^{n-1}k^3=1+\left(\frac{n(n-1)}2\right)^2$。初項も成立し、示された全項と一致する。

(2) 和で定義された漸化式

$n=1$ の条件から $a_1+a_2=4a_1+8=24$ なので $a_2=20$。隣り合う和の条件を引くと $a_{n+2}=4a_{n+1}-4a_n$。
$d_n=a_{n+1}-2a_n$ と置けば $d_{n+1}=2d_n$、$d_1=12$ なので $d_n=12\cdot2^{n-1}$。
元の差を $2^{n+1}$ で割ると $\frac{a_{n+1}}{2^{n+1}}-\frac{a_n}{2^n}=3$。初項 $\frac{a_1}2=2$ から $\frac{a_n}{2^n}=2+3(n-1)=3n-1$。よって $a_{n}=(3n-1)2^{n}$。元の和の条件も、差の漸化式と $n=1$ の値から復元できる。

(3-1) 分数型漸化式の一般項

固定点は $1,4$。漸化式から $\frac{a_{n+1}-4}{a_{n+1}-1}=\frac14\frac{a_n-4}{a_n-1}$。初項ではこの比が $2$ なので、比は $\frac2{4^{n-1}}$。
これを $a_n$ について解いて $a_n=\frac{4^n-2}{4^{n-1}-2}$ を得る。$4^{n-1}=2$ となる自然数 $n$ はなく、$a_n$ も $0$ でない。従って全項が定義され、初項と漸化式への代入で式の妥当性を帰納的にも確認できる。

(3-2) 極限

一般項を $4^{n-1}$ で割れば $a_n=\frac{4-\frac2{4^{n-1}}}{1-\frac2{4^{n-1}}}$。$n\to\infty$ で分子は $4$、分母は $1$ へ収束するので極限は $4$。