2昭和医科大学 2023年 数学 第2問解答・解説

(1-1) 整数部分a

$\left(\frac{1+\sqrt5}2\right)^3=2+\sqrt5$。$2<\sqrt5<3$ なので $4<2+\sqrt5<5$、従って整数部分 $a=4$。

(1-2) bの整式の値

$b=\sqrt5-2$ なので $b^2+4b-1=0$。恒等式
$$b^4+3b^3-4b^2+6b+1=(b^2+4b-1)(b^2-b+1)+b+2$$
に代入して、値は $b+2=\sqrt5$。

(2) 整式の余り

$x^{3}-1=(x-1)(x^{2}+x+1)$ なので、$x^{3}$ を $x^{2}+x+1$ で割った余りは 1 である。$2023=3\cdot674+1$ より$$x^{2023}-x=x\{(x^{3})^{674}-1\}$$は $x^{3}-1$ で割り切れ、したがって $x^{2}+x+1$ で割り切れる。よって余りは $x$。

(3) 同一平面条件

$\overrightarrow{AB}=(-1,-1,0)$、$\overrightarrow{AC}=(-1,-2,-3)$。ベクトル $\vec n=(3,-3,1)$ は両方に垂直で、両者は平行でない。
従って $A,B,C$ を通る平面の方程式は $3(X-3)-3(Y-5)+(Z-1)=0$。$D=(1,x,-1)$ を代入すると $-6-3(x-5)-2=7-3x=0$。よって $x=\frac73$。

(4) 点Pの動く領域の面積

係数平面で $2|\alpha|+3|\beta|\leqq6$ は4点 $(3,0),(0,2),(-3,0),(0,-2)$ を頂点とするひし形である。
位置ベクトルへの対応は和と実数倍を保つので、像は順に
$$3\vec a,\quad2\vec b,\quad-3\vec a,\quad-2\vec b$$
を頂点とする四角形である。$\vec a=(3,2)$、$\vec b=(-1,2)$ は平行でないので、係数の異なる2点が同一点に写ることはない。
$\vec a,\vec b$ のなす角を $\varphi$ とすると
$$|\vec a|^2=13,\quad |\vec b|^2=5,\quad\vec a\cdot\vec b=1,$$
$$\cos\varphi=\frac1{\sqrt{65}},\qquad \sin\varphi=\sqrt{1-\frac1{65}}=\frac8{\sqrt{65}}.$$
原点と隣り合う2頂点でできる4つの三角形は全て同じ面積であり、1つ分は
$$\frac12\cdot3\sqrt{13}\cdot2\sqrt5\cdot\frac8{\sqrt{65}}=24.$$
したがって全体の面積は $S=4\cdot24=96$。