3日本医科大学 2022年 数学 第3問解答・解説

(1)

$A,B,C,D$ の重み付き座標を用いる。
平面 $LMN$ を表す一次式の各頂点での値を $a,b,c,d$ とすると、$L=\frac{5A+B}{6}$、$M=\frac{B+C}{2}$、$N=\frac{3C+5D}{8}$ より、
$$5a+b=0,\quad b+c=0,\quad3c+5d=0。$$
よって $b=-5a,c=5a,d=-3a$。
$AD$ 上の $P=(1-u)A+uD$ では $(1-u)a+ud=(1-4u)a=0$。
四面体は非退化なので $a\ne0$、したがって $u=\frac14$。
$AP:PD=1:3$ より $\frac{PD}{AP}=3$。

(2)

$AB=AC$、$DB=DC$ より $AM,DM$ は $BC$ に垂直。
直角三角形から $AM=DM=x$、$BM=CM=\sqrt{l^2-x^2}$。
(1)より $P=\frac{3A+D}{4}$ なので、$PH$ は $A$ の平面 $BCD$ からの高さの $\frac34$ 倍である。
したがって $A$ の高さは $\frac{2l}{3}$、よって $x=AM\geqq\frac{2l}{3}$。
また $BC>0$ より $x<l$。
逆にこの範囲の $x$ では、長さ $x$ の $MA,MD$ を、$A$ の高さが $\frac{2l}{3}$ となるよう配置できるので、全範囲が実現する。

(3)

底面三角形 $BCD$ の面積は $\frac12BC\cdot DM=x\sqrt{l^2-x^2}$。
$A$ から底面への高さは $\frac{2l}{3}$ なので、
$$V=\frac13x\sqrt{l^2-x^2}\cdot\frac{2l}{3} =\frac{2l}{9}x\sqrt{l^2-x^2}。$$

(4)

$L=l^2$、$z=x^2$、$c=\frac{4L}{9}$ とおく。
$\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MD}\geqq0$ を用い、$MD$ を水平方向として $A$ の垂直成分が $\frac{2l}{3}$ であることから
$$\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MD}=\sqrt{z(z-c)}。$$
$$\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD} =|\overrightarrow{MA}|^2-\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MD} =z-\sqrt{z(z-c)}。$$
条件は $z-\sqrt{z(z-c)}\geqq\frac23$。
$z\geqq c=\frac{4L}{9}\geqq\frac23$ なので、移項した両辺は非負となり二乗できる。
$$z(z-c)\leqq\left(z-\frac23\right)^2 \quad\text{すなわち}\quad(3-L)z\leqq1。$$
ほかの範囲は $\frac{4L}{9}\leqq z<L$ で、$V^2=\frac{4L}{81}z(L-z)$。
この二次式は $z=\frac L2$ で最大となる。
$L\geqq2$ ではこの点で $(3-L)z\leqq1$ が成立し、$V_{\max}=\frac{l^3}{9}$。
$\frac32\leqq L\leqq2$ では上限が $z\leqq\frac1{3-L}\leqq\frac L2$ なので、この上限で最大となる。代入すると
$$V_{\max}=\frac{2l}{9}\sqrt{\frac L{3-L}-\frac1{(3-L)^2}} =\frac{2l\sqrt{-l^4+3l^2-1}}{9(3-l^2)}。$$
端点 $L=2$ で両式は一致し、$L=\frac32$ でも許される $x=\frac{2l}{3}$ で実現する。