2日本医科大学 2022年 数学 第2問解答・解説

$n$を3以上の整数とする。中が見えない袋の中に白球が$n$個、黒球が$n$個、赤球が3個入っており、袋の中から3個の球を無作為に同時に取り出す試行を行う。取り出した3個の球の色の種類が2である確率を$p_{n}$とする。また、取り出した3個の球の色の種類が2であり、かつその3個の球に赤球が含まれない確率を$q_{n}$とする。このとき、以下の各問いに答えよ。また、以下のア～サに適する1以上の整数を解答欄に記入せよ。分数形で解答する場合、既約分数で答えること。

問1 数列$\{p_{n}\}$の一般項を求めると
$$p_{n}=\dfrac{\boxed{\text{ア}}}{\boxed{\text{イ}}}\dfrac{n^{3}+\boxed{\text{ウ}}n^{2}+\boxed{\text{エ}}n}{\left(n+\dfrac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}\right)\left(n+\boxed{\text{キ}}\right)\left(n+\dfrac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}\right)}$$
（ただし、$\dfrac{\boxed{\text{オ}}}{\boxed{\text{カ}}}>\boxed{\text{キ}}>\dfrac{\boxed{\text{ク}}}{\boxed{\text{ケ}}}$）となる。

問2 数列$\{q_{n}\}$の極限を$\alpha=\displaystyle\lim_{n\to\infty}q_{n}$とすると、$\alpha=\dfrac{\boxed{\text{コ}}}{\boxed{\text{サ}}}$となる。

問3 問2の$\alpha$に対し、極限$\beta=\displaystyle\lim_{n\to\infty}\left(\dfrac{\alpha}{p_{n}}\right)^{n}$の値を求めよ。必要ならば自然対数の底の定義$e=\displaystyle\lim_{t\to 0}(1+t)^{\dfrac{1}{t}}$（ただし、$t$は実数）を用いてよい。