3金沢大学 2024年 数学 第3問解答・解説

三角形ABCの面積

$\vec b=\overrightarrow{AB},\vec c=\overrightarrow{AC}$、$\theta=\angle BAC$ とおく。内積の定義から
$$\cos\theta=\frac7{\sqrt{10}\sqrt{13}}=\frac7{\sqrt{130}}.$$
三角形の内角なので $\sin\theta>0$ であり、$\sin^2\theta=1-\frac{49}{130}=\frac{81}{130}$。従って
$$[ABC]=\frac12\sqrt{10}\sqrt{13}\sin\theta=\frac92.$$

四面体Tの体積

展開図では $D,E,F$ を折り畳むと同じ第4頂点 $V$ となる。したがって $BD=BF=\sqrt5$、$AV=AF=\sqrt7$。展開図内で $A$ を原点、$\vec d=\overrightarrow{AD}$ とおくと、条件 $\vec d\cdot(\vec c-\vec b)=0$ より$$CD^2-BD^2=|\vec c|^2-|\vec b|^2-2\vec d\cdot(\vec c-\vec b)=3.$$よって $CV^2=CD^2=8$。折り畳んだ空間で $\vec v=\overrightarrow{AV}$ とすると$$\vec b\cdot\vec v=\frac{10+7-5}2=6,\quad\vec c\cdot\vec v=\frac{13+7-8}2=6.$$$V$ から面 $ABC$ への垂足を $H$ とし、$\overrightarrow{AH}=u\vec b+s\vec c$ と表す。$10u+7s=6,\ 7u+13s=6$ から $u=\frac49,s=\frac29$ となり、$AH^2=6(u+s)=4$。したがって高さは $VH=\sqrt{AV^2-AH^2}=\sqrt3$。体積は $\frac13\cdot\frac92\cdot\sqrt3=\frac{3\sqrt3}2$。