4群馬大学 2024年 数学 第4問解答・解説

(1)

$0\leqq x\leqq\frac\pi2$ では $|\cos x|=\cos x$。
$|\cos2x|$ は、$0\leqq x\leqq\frac\pi4$ では $\cos2x$、$\frac\pi4\leqq x\leqq\frac\pi2$ では $-\cos2x$。
$2$ 曲線の共有点は $x=0$ と $x=\frac\pi3$ であり、前者から後者までは $\cos x$ が上、$\frac\pi3$ 以降は $|\cos2x|$ が上である。
したがって、$2$ つの面積の和は、
$$\begin{aligned} S={}&\int_0^{\frac\pi4}(\cos x-\cos2x)\,dx\\ &+\int_{\frac\pi4}^{\frac\pi3}(\cos x+\cos2x)\,dx\\ &+\int_{\frac\pi3}^{\frac\pi2}(-\cos2x-\cos x)\,dx \end{aligned}$$$$S={\int }_0^{\frac{\pi }{4}}(\cos x-\cos 2x)dx$$$$+{\int }_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}}(\cos x+\cos 2x)dx$$$$+{\int }_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}}(-\cos 2x-\cos x)dx$$
各原始関数 $\sin x\pm\frac12\sin2x$ を用いて代入すると、$\frac{3\sqrt3}2-2$ を得る。

(2)

ここでは絶対値のない曲線 $\cos x,\cos2x$ の間を回転する。
$0\leqq x\leqq\frac\pi4$ では両者が非負なので、断面は外半径 $\cos x$、内半径 $\cos2x$ の円環。
$\frac\pi4\leqq x\leqq\frac\pi2$ では縦の線分が $x$ 軸をまたぐので、穴のない円盤となる。
$\cos x=-\cos2x$ となる $x=\frac\pi3$ を境に、円盤の半径は $\frac\pi4\leqq x\leqq\frac\pi3$ で $\cos x$、$\frac\pi3\leqq x\leqq\frac\pi2$ で $-\cos2x$。
よって、
$$\begin{aligned} \frac V\pi={}&\int_0^{\frac\pi4}(\cos^2x-\cos^22x)\,dx +\int_{\frac\pi4}^{\frac\pi3}\cos^2x\,dx +\int_{\frac\pi3}^{\frac\pi2}\cos^22x\,dx\\ ={}&\int_0^{\frac\pi3}\cos^2x\,dx +\int_{\frac\pi3}^{\frac\pi2}\cos^22x\,dx -\int_0^{\frac\pi4}\cos^22x\,dx\\ ={}&\frac\pi8+\frac{3\sqrt3}{16} \end{aligned}$$$$\frac{V}{\pi }={\int }_0^{\frac{\pi }{4}}({\cos }^{2}x-{\cos }^{2}2x)dx+{\int }_{\frac{\pi }{4}}^{\frac{\pi }{3}}{\cos }^{2}xdx+{\int }_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{2}2xdx$$$$={\int }_0^{\frac{\pi }{3}}{\cos }^{2}xdx+{\int }_{\frac{\pi }{3}}^{\frac{\pi }{2}}{\cos }^{2}2xdx-{\int }_0^{\frac{\pi }{4}}{\cos }^{2}2xdx$$$$=\frac{\pi }{8}+\frac{3\sqrt{3}}{16}$$
最後に $\pi$ を掛けて、結論を得る。