2藤田医科大学 2022年 数学 第2問解答・解説

(1) p,qの条件

交点の横座標は $x^2-qx+p=0$ の根。異なる2実根を持つ必要十分条件は、判別式 $q^2-4p>0$。既存の正値条件と合わせて結論となる。

(2) p,qの表示

交点条件 $(x-\alpha)(x-\beta)=x^2-qx+p$ を比較し、解と係数の関係から結論を得る。$p,q>0$ で2根の和・積が正なので $0<\alpha<\beta$。

(3) 面積が等しいとき

$S_1=\int_\alpha^\beta\{-(x-\alpha)(x-\beta)\}\,dx=\frac{(\beta-\alpha)^3}6$。
$S_2=\int_0^\alpha(x-\alpha)(x-\beta)\,dx=\frac{\alpha^2(3\beta-\alpha)}6$。$0<\alpha<\beta$ なので、この区間では曲線が直線より上である。
等面積条件は $(\beta-\alpha)^3=\alpha^2(3\beta-\alpha)$。展開して共通項を消すと $\beta^3-3\alpha\beta^2=\beta^2(\beta-3\alpha)=0$。$\beta>0$ より $\beta=3\alpha$。
従って $q=4\alpha,p=3\alpha^2$ より $p=\frac{3q^2}{16}$。逆にこの関係と正値条件から $\beta=3\alpha$ となり、等面積が成り立つ。

(4) 整数交点の証明

$16p=3q^2$ で、$3,16$ は互いに素だから $q^2$ は $16$ の倍数。$q^2$ の素因数 $2$ の指数は4以上なので、$q$ は $4$ の倍数。
$q=4m$（$m$ は正整数）と置くと、(3)より $\alpha=m,\beta=3m$。従って両方とも正整数である。