1藤田医科大学 2022年 数学 第1問解答・解説

(1) 平均・標準偏差

合計 $444$ を $6$ で割ると平均 $74$。偏差は $-11,-5,-3,3,7,9$、平方和は $294$。分散が $\frac{294}6=49$ なので標準偏差は $7$。

(2) 対数の積

自然対数へ底をそろえると、$\frac{\log3}{\log2}\cdot\frac{3\log5}{2\log3}\cdot\frac{3\log2}{\log5}=\frac92$。

(3) 対称軸とa

$x=u+b$ と置き、$u$ の奇数次係数が $0$ となる条件を使う。$u^3$ の係数 $4b+8=0$ より $b=-2$。
$u$ の係数は $f\prime(-2)=4(-2)^3+24(-2)^2+2a(-2)-20=44-4a$。これが $0$ なので $a=11$。このとき全ての奇数次項が消えるので十分でもある。

(4) 正整数解の組数と最小差

式を変形すると $(x-12)(y-12)=144$。正値条件より $x,y>12$、また $x>y$ なので $d=y-12$ は $144$ の正約数で $d<12$。
$d=1,2,3,4,6,8,9$ の7個。$x-y=\frac{144}d-d$ は $d>0$ で減少するので、最大の $d=9$ のとき差が最小。$y=21,x=28$。

(5) 3個だけ同じ目

共通する3個の目は6通り、残りの異なる目は5通り、異なる1個の位置は4通りなので計120通り。全 $6^4$ 通りで割ると $\frac{120}{1296}=\frac5{54}$。

(6) OFのベクトル

$\vec a=\overrightarrow{OA},\vec b=\overrightarrow{OB}$ と置くと、$\overrightarrow{OD}=\frac23\vec a$、$\overrightarrow{OE}=\frac{4\vec a+3\vec b}7$。
$\overrightarrow{OF}=t\overrightarrow{OE}=\overrightarrow{OD}+s(\vec b-\overrightarrow{OD})$ と表す。係数比較から $\frac{4t}7=\frac23(1-s),\frac{3t}7=s$。連立して $t=\frac79$、従って $\overrightarrow{OF}=\frac49\vec a+\frac13\vec b$。

(7) 移動積分の最小値

微積分の基本定理から $f\prime(a)=|a(a+1)|-|a(a-1)|=|a|\{|a+1|-|a-1|\}$。
$a<0$ で負、$a>0$ で正なので、最小となるのは $a=0$。$f(0)=\int_0^1(x-x^2)\,dx=\frac16$。

(8) 等差数列の初項・公差

初項を $a$、公差を $0$ でない整数 $d$ とする。$S_7=7a+21d=119$ より $a+3d=17$。
$n=7$ で最大なので $S_7-S_6=a+6d\geqq0$、$S_8-S_7=a+7d\leqq0$。従って $17+3d\geqq0,17+4d\leqq0$、すなわち $-\frac{17}3\leqq d\leqq-\frac{17}4$。
この範囲の整数は $-5$ だけで $a=32$。実際 $d<0$ で項は減少し、第7項は $2>0$、第8項は $-3<0$ なので、$S_n$ の最大は確かに $n=7$。

(9) 極限

分子を有理化すると $f(x)=\frac9{\sqrt{4+9x}+2}$（$x\ne0$）。$x\to0$ で分母が $4$ に近づくので、極限は $\frac94$。

(10) 導関数値と積分

$D(x)=\sin x+\cos x$ と置くと $f=-\frac{6D\prime}D$。$D\prime\prime=-D$、$D^2+(D\prime)^2=2$ より $f\prime=\frac{12}{D^2}$。
$D(\frac\pi{12})^2=1+\sin\frac\pi6=\frac32$ なので、導関数値は $8$。
積分は $-6[\log D]_0^{\frac\pi4}=-6\log\sqrt2=-3\log2=\log\frac18$。区間内では $D>0$ なので対数が定義される。