3獨協医科大学 2023年 数学 第3問解答・解説

(1)

$z=x+iy$とおく。$w$が実数である条件は、$\frac{z-3i}{z-4}$の実部が$0$であることである。
分母の絶対値の2乗を掛けると、$x(x-4)+y(y-3)=0$、すなわち$(x-2)^2+(y-\frac32)^2=\frac{25}4$となる。
$z=4$では元の$w$が未定義なので、軌跡はこの円から$4$を除く。空欄はア=2、イ=3、ウ=2、エ=5、オ=2である。

(2)

$w+1=\frac{(1+i)z-7i}{i(z-4)}$なので、条件は$|(1+i)z-7i|^2=4|z-4|^2$、すなわち$|z-\frac72(1+i)|^2=2|z-4|^2$である。
実座標で整理すると$x^2+y^2-9x+7y+\frac{15}2=0$、したがって$(x-\frac92)^2+(y+\frac72)^2=25$である。
点$4$はこの円上でないため、追加の除外はない。空欄はカ=9、キ=2、ク=7、ケ=2、コ=5である。

(3)

第1円の中心は$c_1=2+\frac32i$、半径は$r_1=\frac52$、第3円の中心は$c_3=\frac92-\frac72i+\alpha$、半径は$r_3=5$である。
中心間距離は$d=|\alpha-(-\frac52+5i)|$である。円全体同士が共有点を持たない条件は$d<|r_3-r_1|=\frac52$、または$d>r_3+r_1=\frac{15}2$である。
問(3)の空欄は、サシ=−5、ス=2、セ=5、ソ=5、タ=2、チツ=−5、テ=2、ト=5、ナニ=15、ヌ=2となる。
(1)の軌跡は点$4$を除いた図形なので、$C_1$の点$4$で接する場合は、接点が除かれて共有点がなくなる。その中心は$c_3=4\pm2(4-c_1)$、すなわち$8-3i$または$3i$である。
これに対応する$\alpha$は$\frac72+\frac12i$および$-\frac92+\frac{13}2i$である。その他の接点・2交点の場合には除外点以外の共有点が残るので、追加例はこの2点のみである。