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愛知医科大学／2022年度／推薦

4愛知医科大学 2022年 数学 第4問解答・解説

1問題

愛知医科大学2022年度第4問
次の和SnS_{n}を求めよ。

Sn=1+4⋅2+9⋅22+⋯+n2⋅2n−1S_{n}=1+4\cdot 2+9\cdot 2^{2}+\cdots+n^{2}\cdot 2^{n-1}

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる
  • 数列の和
    Sn=2n(n2−2n+3)−3S_n=2^n(n^2-2n+3)-3。

3解答

解答を見る途中式つきの解答

解答

数列の和

まず Tn=∑k=1nk2k−1T_n=\sum_{k=1}^n k2^{k-1} とすると、2Tn−Tn=n2n−(1+2+⋯+2n−1)=(n−1)2n+1.2T_n-T_n=n2^n-(1+2+\cdots+2^{n-1})=(n-1)2^n+1.
従って Tn=(n−1)2n+1T_n=(n-1)2^n+1。
同様にSn=∑k=1nk22k−1S_n=\sum_{k=1}^n k^22^{k-1}について
2Sn−Sn=n22n−∑k=1n(2k−1)2k−1=n22n−2Tn+(2n−1). 2S_n-S_n=n^22^n-\sum_{k=1}^n(2k-1)2^{k-1} =n^22^n-2T_n+(2^n-1).
TnT_n の式を代入すると Sn=2n(n2−2n+3)−3S_n=2^n(n^2-2n+3)-3。n=1n=1 でも1に一致する。

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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