1愛知医科大学 2022年 数学 第1問解答・解説

$\sqrt{xy^{2}}$の値域

$u=\log_2x$、$v=\log_2y$ と置く。$x,y>0$ より $u,v$ は実数で、条件は $u^2+v^2=20$。また
$$\sqrt{xy^2}=2^{\frac u2+v}.$$
平方を展開すれば
$$\frac54(u^2+v^2)-\left(\frac u2+v\right)^2 =\left(u-\frac v2\right)^2\geqq0.$$
したがって $-5\leqq\frac u2+v\leqq5$。上下端は $(u,v)=(2,4),(-2,-4)$ で達成する。
中間の値も全てとれることを具体的に示す。実数 $t$ を用いて
$$u=2\cos t-4\sin t,\qquad v=4\cos t+2\sin t$$
とすれば、$u^2+v^2=20$、$\frac u2+v=5\cos t$ となり、右辺の値域は $[-5,5]$。
$2^s$ は $s$ について連続かつ増加するので
$$\frac1{32}\leqq\sqrt{xy^2}\leqq32.$$