3東海大学 2022年 数学 第3問解答・解説

(1)

$s=\sqrt{a^2+1}$ とおく。三角形 $ABC$ は面積 $a$、辺長 $2,s,s$ なので、内接円 $O_1$ の半径は $r_1=\frac a{s+1}$。3傍接円の半径は $a,a,\frac{s+1}a$ で、いずれも $r_1$ より大きい。$O_1$ の中心は $(r_1,0)$。

(2)

第1象限の傍心は、辺 $AB$ からの距離を $a$ として中心 $(a,s)$。直線 $BC$ の式 $x-ay-a=0$ および $CA$ の式 $x+ay-a=0$ に代入した距離も $a$ である。従って $O_2$ は中心 $(a,s)$、半径 $a$。

(3)

他の3円は中心 $(a,\pm s)$、半径 $a$ の2円と、中心 $(-r_e,0)$、半径 $r_e=\frac{s+1}a$ の1円。$O_3$ の中心を $(h,v)$、半径を $R$ とすると上下2円への外接から $v=0$。
左の円への外接では $|h+r_e|=R+r_e$。$h=-R-2r_e$ の枝は上の円との外接式に代入すると $4r_e(R+a+r_e)+s^2=0$ となり不可能。従って $h=R$。上の円との距離条件 $(R-a)^2+s^2=(R+a)^2$ より $R=\frac{s^2}{4a}$。
さらに $R-r_1=\frac{(s-2)^2(s+1)}{4a(s+1)}=\frac{(s-2)^2}{4a}\geqq0$ なので、$a\ne\sqrt3$ では小円 $O_1$ を内部に含み原点で内接する。$a=\sqrt3$ だけ半径・中心とも同じとなり、異なる2円の内接ではない。

(4)

前問の非退化範囲 $a>0,a\ne\sqrt3$ で $R=\frac{a+\frac1a}4\geqq\frac12$。等号は $a=1$ で、これは除外値でないため最小値 $\frac12$ を実際にとる。

(5)

$O_2,O_3$ は外接するので接点は中心線を半径比で内分し、$y$ 座標は $Y=\frac{Rs}{R+a}=\frac{s^3}{s^2+4a^2}=\frac{(a^2+1)^{\frac32}}{5a^2+1}$。
微分すると $Y\prime=\frac{a\sqrt{a^2+1}(5a^2-7)}{(5a^2+1)^2}$。従って $a=\sqrt{\frac75}$ で最小をとり、その値は $\frac{(\frac{12}5)^{\frac32}}8=\frac{3\sqrt{15}}{25}$。この $a$ も退化値 $\sqrt3$ と異なる。

(6)

$BC$ は $y=\frac xa-1$、$O_3$ は $(x-R)^2+y^2=R^2$。代入すると $2(a^2+1)x^2-a(a^2+5)x+2a^2=0$ となり、$(2x-a)\{(a^2+1)x-2a\}=0$。
従って2つの $x$ 座標は $\frac a2,\frac{2a}{a^2+1}$。$a=\sqrt3$ で一致することは前述の退化と整合するが、その場合は原定義の $O_3$ 自体がない。