1東海大学 2022年 数学 第1問解答・解説

(1)

$z=\sqrt{2+\sqrt2}+i\sqrt{2-\sqrt2}$ は絶対値2、偏角 $\frac\pi8$。従って $z^8=2^8(\cos\pi+i\sin\pi)=-256$。

(2)

$\sin(-x+\pi)+\sqrt3\sin(x+\frac\pi2)=\sin x+\sqrt3\cos x=2\sin(x+\frac\pi3)$。$0\leqq x<2\pi$ で最小 $-2$ をとるのは $x+\frac\pi3=\frac{3\pi}2$、すなわち $x=\frac{7\pi}6$ のみ。

(3)

真数条件 $8x-8>0$ より $x>1$。対数をまとめると $\frac{8x-8}{x^2}=2$、すなわち $(x-2)^2=0$。$x=2$ は真数条件を満たす。

(4)

和4の2辺の組は $(1,3)$ または $(2,2)$ のみ。$(1,3)$ では第3辺 $c$ は $2<c<4$ の整数なので3。$(2,2)$ では $0<c<4$ から1,2,3。従って辺長の組は $(1,3,3),(1,2,2),(2,2,2),(2,2,3)$ の4つ。合同な三角形は1個と数える通常の意味である。

(5)

面積は
$$S=\int_0^{3\sqrt3}\frac{dx}{x^2+9}.$$
$x=3\tan\theta$、$0\leqq\theta\leqq\frac\pi3$ と置く。この区間で対応は単調で、$dx=3(1+\tan^2\theta)\,d\theta$、$x^2+9=9(1+\tan^2\theta)$。したがって
$$S=\frac13\int_0^{\frac\pi3}d\theta=\frac\pi9.$$

(6)

$a_n=5-2(n-1)=7-2n$ なので $a_{4k}=7-8k$。従って $\sum_{k=1}^{100}a_{4k}=700-\frac{8\cdot100\cdot101}2=-39700$。