1福島県立医科大学 2025年 数学 第1問解答・解説

以下の各問いに答えよ。なお、解答に至るまでの考え方・導出過程も記述すること。

問1　囲碁や将棋の棋戦などにおいて、同じ$\,2\,$名の対局者が複数回の対局を行い、勝数が多い方を勝利者とする仕組みを番勝負という。$3\,$番勝負では先に$\,2\,$勝、$5\,$番勝負では先に$\,3\,$勝した方が勝利者であり、勝敗が決まった場合、残りの対局は実施しない。

　$2\,$人で対戦するボードゲームがある。引き分けはなく、必ず勝ち負けが決着する。太郎と花子の$\,2\,$人がこのボードゲームで番勝負を行う場合を考える。$1\,$回の対局において太郎が花子に勝つ確率を$\,p\,$ $\text{（}\,0\leqq p\leqq 1\,\text{）}$とし、$n\,$番勝負を行って太郎が勝利者となる確率を$\,{b}_{n}(p)$とする。ただし、$n\,$は正の奇数である。また、${b}_{n+2}(p)$と$\,{b}_{n}(p)$の大小関係を調べるために$\,{d}_{n}(p)\,$ $={b}_{n+2}(p)\,$ $-\,{b}_{n}(p)$と定める。番勝負の勝利確率に関する以下の問いに答えよ。

(1)　${b}_{3}(p)$と$\,{d}_{1}(p)$をそれぞれ$\,p\,$の整式として表せ。また、${d}_{1}(\frac{1}{2})$の値を求めよ。

(2)　${b}_{1}(p)$と$\,{b}_{3}(p)$の大小関係を調べよ。

(3)　${b}_{5}(p)$と$\,{d}_{3}(p)$をそれぞれ$\,p\,$の整式として表せ。

(4)　整式$\,{d}_{3}(p)$を整式$\,{d}_{1}(p)$で割ったときの商を求めよ。

(5)　${b}_{3}(p)$と$\,{b}_{5}(p)$の大小関係を調べよ。

【1】　以下の各問いに答えよ。なお、解答に至るまでの考え方・導出過程も記述すること。

問2　関数$\,f(x)={x}^{2}+a\,\sqrt{{a}^{2}-{x}^{2}}+{b}^{2}\,$の最大値が$\,5\,$であるとき、以下の問いに答えよ。ただし、$a\,\text{、}$ $b\,$は実数とする。

(1)　条件を満たす$\,(a,b)$の集合を$\,ab\,$平面に描け。

(2)　$(a,b)$が(1)の集合上を変化するとき、関数$\,f(x)$の最小値$\,m\,$が変化する範囲を求めよ。