2福岡大学 2024年 数学 第2問解答・解説

(ⅰ)

$x>0$で$f(x)=\frac{4\log x-1}{x^3}$、$f^{\prime}(x)=\frac{7-12\log x}{x^4}$である。
接点の$x$座標を$p$とすると、原点を通る条件$f(p)=pf^{\prime}(p)$から、$4\log p-1=7-12\log p$、$\log p=\frac12$である。
$p=\sqrt e,f(p)=e^{-\frac32}$、接線の傾きは$\frac{f(p)}p=e^{-2}$である。

(ⅱ)

曲線の$x$軸との交点は$Q=(e^{\frac14},0)$である。接線と曲線が接点以外で交わらないことは、$s=\frac x{\sqrt e}>0$として、$x^3(l-f)=s^4-4\log s-1\geqq0$から分かる。この式の導関数は$\frac{4(s^4-1)}s$であり、最小となるのは$s=1$である。
囲まれる領域の面積は、線分$OP$の下の三角形の面積から、$Q$から$P$までの曲線の下の面積を引いたものである。
$$S=\frac1{2e}-\int_{e^{\frac14}}^{\sqrt e}(4\log x-1)x^{-3}\,dx.$$
原始関数は$-\frac{2\log x+\frac12}{x^2}$だから、積分値は$\frac1{\sqrt e}-\frac3{2e}$である。よって、$S=\frac2e-\frac1{\sqrt e}$となる。