1福岡大学 2024年 数学 第1問解答・解説

(i)

原点を通る円を$x^2+y^2+Dx+Ey=0$とおく。$A,B$を代入して、$D+E=-2,D+3E=-30$より$D=12,E=-14$である。
$y=x^2$を代入すると、$x^4-13x^2+12x=x(x-1)(x-3)(x+4)=0$である。既知の$x=0,1,3$以外は$x=-4$であり、$y=16$となる。

(ii)

$y^{\prime}=-3\sin x+2\cos x=0$は$\tan x=\frac23$で、指定区間内である。そこで最大値$\sqrt{3^2+2^2}=\sqrt{13}$をとる。
両端値は$y(0)=3,y(\frac\pi4)=\frac5{\sqrt2}>3$だから、最小値は$3$である。

(iii)

1回で3の倍数が出ない確率は$\frac23$なので、$P_n=1-(\frac23)^n$である。条件は$(\frac23)^n\leqq0.03$となる。
常用対数から$n(0.3010-0.4771)\leqq0.4771-2$、すなわち$n\geqq\frac{1.5229}{0.1761}$である。
$8\times0.1761=1.4088<1.5229\leqq1.5849=9\times0.1761$なので、最小の$n$は$9$である。

(iv)

$f^{\prime\prime}(x)=\frac{2(4x^3+3ax^2-12x-a)}{(1+x^2)^3}$である。$r=2-\sqrt3$とすれば、$r^2=4r-1,r^3=15r-4$である。
$f^{\prime\prime}(r)=0$の条件は$4(3r-1)(a+4)=0$であり、$3r-1\ne0$だから$a=-4$である。
実際、このとき分子の括弧は$4(x+1)(x^2-4x+1)$で、$r$は単根、分母は正である。$r$の前後で$f^{\prime\prime}$の符号が変化するので、変曲点である。