福岡大学／2022年度／推薦

2福岡大学 2022年数学第2問解答・解説

1問題

福岡大学2022年度第2問

x

を、

0\leqq x\leqq\dfrac{\pi}{2}

をみたす実数とし、

\displaystyle I(x)=\int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}}|t-x|\sin t\,dt

とおく。このとき、次の問に答えよ。

(1) 関数

I(x)

の導関数

I'(x)\ \left(0<x<\dfrac{\pi}{2}\right)

を求め、

I(x)

を最小にする

x

の値を求めよ。

(2)

I(x)

の最小値を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

解答を見る途中式つきの解答

(1)

t=x

で絶対値を分けると

I(x)=\int_0^x(x-t)\sin t\,dt+\int_x^{\frac\pi2}(t-x)\sin t\,dt.

x

で微分すると

I^{\prime}(x)=\int_0^x\sin t\,dt-\int_x^{\frac\pi2}\sin t\,dt=1-2\cos x.

0<x<\frac\pi3

で負、

\frac\pi3<x<\frac\pi2

で正だから、端点を含む全区間で

x=\frac\pi3

が唯一の最小点。

(2)

部分積分により第1積分は

x-\sin x

、第2積分は

1-\sin x

。

I(x)=x+1-2\sin x

なので

I(\frac\pi3)=\frac\pi3+1-\sqrt3

。

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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