1福岡大学 2022年 数学 第1問解答・解説

(1)

$a_n=2^{n-1}$ は $a_1=1,a_2=2$ および漸化式を満たす。初期値から一意に決まるので、これが一般項である。
求める対数は
$$\begin{aligned}\sum_{n=1}^{10}n\log_2a_n&=\sum_{n=1}^{10}n(n-1)\\&=\frac{10\cdot11\cdot21}6-\frac{10\cdot11}2\\&=385-55=330.\end{aligned}$$$$\sum _{n=1}^{10}n{\log }_2{a}_n=\sum _{n=1}^{10}n(n-1)$$$$=\frac{10\cdot 11\cdot 21}{6}-\frac{10\cdot 11}{2}$$$$=385-55=330.$$

(2)

$x\geqq0$ では $a^x>0\geqq-x$ で常に成立する。
$x=-u,u>0$ では $a^{-u}\geqq u$ が必要十分。対数を取ると、$\log a\leqq-\frac{\log u}u$ がすべての $u>0$ で必要となる。
$h(u)=\frac{\log u}u$ は $h^{\prime}(u)=\frac{1-\log u}{u^2}$ より $u=e$ で最大値 $\frac1e$。したがって $\log a\leqq-\frac1e$ が必要十分。

(3)

領域が存在する $x$ の範囲は $x^2+2x-2\leqq0$ より $-1-\sqrt3\leqq x\leqq-1+\sqrt3$。
$x$ を固定すると $2x-y$ は下側境界 $y=\frac{x^2}2$ で最大。
$h(x)=2x-\frac{x^2}2$ は、区間の右端が2未満なので全区間で増加する。したがって $x=-1+\sqrt3$ で最大となり、値は $3\sqrt3-4$。

(4)

正数 $u=\frac a{2b},v=\frac b{2c},w=\frac{4c}a$ と置くと $uvw=1$、与式は $4(1+u)(1+v)(1+w)$。
相加相乗平均の関係 $1+u\geqq2\sqrt u$ などを掛けて、$(1+u)(1+v)(1+w)\geqq8$。
したがって最小値は32。等号は $u=v=w=1$、すなわち $a=2b,b=2c$ のとき。