2愛知医科大学 2023年 数学 第2問解答・解説

(1)

連立して $P=(\frac{2m+1}{1+m^2},\frac{m(2m+1)}{1+m^2})$。消去すると $x^2+y^2=x+2y$ である。
$x\ne0$ のこの円周上の点では $m=\frac yx$ とすれば両直線の式を満たす。$x=0$ なら円周上の点は $(0,0),(0,2)$ で、前者は $m=-\frac12$ で実現するが、後者は $l_1$ の $y=mx$ を満たせず実現しない。従って除外点を1つ付けた円周全体が軌跡。

(2)

$O=(0,0),D=(1,2)$ とすると $l_1$ は常に $O$、$l_2$ は常に $D$ を通り、この2点は $C$ 上にある。$m\ne-\frac12,2$ では $Q_1=O,Q_2=D$。$l_1,l_2$ は垂直だから $OP^2+PD^2=OD^2=5$。
従って $(OP+PD)^2\leqq2(OP^2+PD^2)=10$ で、等号は $OP=PD$。円周と $OD$ の垂直二等分線の交点は $P=(\frac32,\frac12),(-\frac12,\frac32)$ で、$m=\frac yx$ は $\frac13,-3$。いずれも除外点・退化値ではなく、最大 $\sqrt{10}$ を達成する。
$m=-\frac12$ では $l_1$ が $O$ に接し $Q_1$ がなく、$m=2$ では $l_2$ が $D$ に接し $Q_2$ がないため、問題文の「$P$ 以外の交点」定義にはこの2値の例外がある。最大化の有効域からこれらを除いても上の結果は変わらない。