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昭和医科大学／2022年度／Ⅱ期

2(3)昭和医科大学 2022年数学第2問(3)解答・解説

1問題

昭和医科大学2022年度第2問(3)

n=14^{100}

とし、

n

の最高位の数字を

a

とする。次の各問いに答えよ。必要に応じて常用対数表を用いてよい。

(a)

n

の桁数を求めよ。

(b)

a

の値を求めよ。

(c)

a\times n

を

15

で割った余りを求めよ。

掲載対数表：

\log_{10}2=0.3010,\,\log_{10}3=0.4771,\,\log_{10}4=0.6021,\,\log_{10}5=0.6990,\,\log_{10}6=0.7782,\,\log_{10}7=0.8451,\,\log_{10}8=0.9031,\,\log_{10}9=0.9542

。

まずは自分で解いてみましょう。解けたら「答え」、詰まったら「解答」で確かめられます。

タイマー

15:00

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$115$
$4$
$4$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

解答

\log_{10} n=100(\log_{10}2+\log_{10}7)=100(0.3010+0.8451)=114.61

なので桁数は

[114.61]+1=115

。

\log_{10}(4\times 10^{114})=114.6021<114.61<114.6990=\log_{10}(5\times 10^{114})

より

4\times 10^{114}<n<5\times 10^{114}

となり、最高位の数字は

a=4

。

14\equiv -1\ (\mathrm{mod}\ 15)

なので

a\times n=4\cdot 14^{100}\equiv 4\cdot(-1)^{100}\equiv 4\ (\mathrm{mod}\ 15)

。答えは(a)115桁、(b)4、(c)4。

読み終えたら解答を閉じて、もう一度自分の手で解いてみましょう。

答えと解答は AI で作成したものです。誤りに気づいたらお問い合わせから教えてください。

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