1順天堂大学 2022年 数学 第1問解答・解説

(1)(a)

$f(x)=\frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}$ なので、$f(-x)=-f(x)$。また、$f(a)=\frac12$ から $2(e^{2a}-1)=e^{2a}+1$、よって $e^{2a}=3$。したがって、$f(2a)=\frac{3^2-1}{3^2+1}=\frac45$。

(1)(b)

商の微分より、$f'(x)=\frac{4e^{2x}}{(e^{2x}+1)^2}$。
一方、$1-f(x)^2=\frac{(e^{2x}+1)^2-(e^{2x}-1)^2}{(e^{2x}+1)^2}=\frac{4e^{2x}}{(e^{2x}+1)^2}$。
$f(b)=\frac{\sqrt3}3$ を代入して、$f'(b)=1-\frac13=\frac23$。

(1)(c)

$u=f(x)$ とおくと、$3u^2-5u-2=(3u+1)(u-2)=0$。
$e^{2x}>0$ より $-1<f(x)<1$ なので、$u=2$ は不適で、$u=-\frac13$ のみ。
$\frac{e^{2x}-1}{e^{2x}+1}=-\frac13$ から $4e^{2x}=2$、$e^{2x}=\frac12$。
よって、$x=-\frac12\log2$。

(2)(a)

$3$ 枚を等確率 $\frac13$ で選ぶ。各コインで表が $1$ 回出る確率は、$A,B,C$ について順に $\frac12,\frac13,\frac16$ で、その和は $1$。選択確率が共通なので、表を観測した後の確率は各値をその和で割ったもの。よって、$A$ は $\frac12$、$B$ は $\frac13$。

(2)(b)

同じ選んだコインを独立に $2$ 回投げたとき、表・表の確率は $\frac14,\frac19,\frac1{36}$。共通分母 $36$ で $9,4,1$ の比だから、$A$ は $\frac9{9+4+1}=\frac9{14}$、$B$ は $\frac4{14}=\frac27$。

(2)(c)

表・表・裏の確率は $\left(\frac12\right)^2\frac12=\frac18$、$\left(\frac13\right)^2\frac23=\frac2{27}$、$\left(\frac16\right)^2\frac56=\frac5{216}$。共通分母 $216$ で $27,16,5$ の比なので、$A$ は $\frac{27}{48}=\frac9{16}$、$B$ は $\frac{16}{48}=\frac13$。

(3)

$x=y-\frac cy$ を $x^3+9x$ に代入すると、$y$ と $\frac1y$ の項の係数が $0$ になるのは $c=3$。
そのとき、方程式は $y^3-\frac{27}{y^3}+6=0$（$y\ne0$）。
$z=y^3$ とおくと、$z^2+6z-27=(z-3)(z+9)=0$ なので、$z=3,-9$。
$u=\sqrt[3]3$、$v=\sqrt[3]9$ とおくと $uv=3$。
$z=3$ 側の $3$ つの $y$ は $u,u\omega,u\omega^2$ であり、$\frac3y$ は順に $v,v\omega^2,v\omega$。
したがって、$x$ は結論の $3$ 個となる。これらは相異なり、三次式の $3$ 解を尽くす。
$z=-9$ 側からも、同じ解の集合が得られる。